線形代数入門 解答下書き

\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \] とする。 \begin{eqnarray*} & & A^3 \\ & = & A^2 A \\ & = & \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac + cd & bc + d^2\end{pmatrix} A \\ & = & \begin{pmatrix} a^3 + 2abc + bcd & a^2 b + b^2 c + abd + bd^2 \\ a^2c + acd + bc^2 + cd^2 & abc + 2bcd+ d^3\end{pmatrix} \end{eqnarray*} なので \( A^3 = 0 \) のとき、 \begin{cases} a^3 + 2abc + bcd = 0 &(1)\\ a^2b + b^2 c + abd + bd^2 = 0 & (2)\\ a^2c + acd +bc^2 + cd^2 = 0 & (3)\\ abc + 2bcd + d^3 = 0 &(4) . \end{cases} (2) より \begin{eqnarray*} a^2 b + b^2 c + abd + bd^2 & = & 0 \\ b ( a^2 + bc + ad + d^2) & = & 0 \end{eqnarray*} ##### \( a^2 + bc + ad + d^2 = 0 \) のとき \( bc = - (a^2 + ad + d^2) \) となるので、 (3) は成立する。 (1) を計算すると、 \begin{eqnarray*} a^3 + ( 2a + d ) \{ - ( a^2 +ad + d^2 ) \} & = & 0 \\ - a^3 - 3 a^2 d -3 a d^2 - d^3 & = & 0 \\ (a^3+d^3) + 3ad(a + d) & = & 0 \\ (a+d) ( a^2 +2ad+d^2) & = & 0 \\ (a + d)^3 & = & 0 \end{eqnarray*} となることから、 \( a = - d \) 。 \( a^2 + bc + ad + d^2 = 0 \) と \( a = -d \) から、 \( a^2+bc = d^2 + bc = 0 \) 。 以上より、 \begin{eqnarray*} A^2 & = & \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{pmatrix} \\ & = & \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*} #### \( b = 0 \) のとき (1) に \( b = 0 \) を代入して \( a^3 = 0 \) を得る。 すなわち \( a = 0 \) 。 (4) に \( b = 0 \) を代入して \( d^3 = 0 \) を得る。 すなわち \( d = 0 \) 。 以上より \begin{eqnarray*} A^2 & = & \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{pmatrix} \\ & = & \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}