中心化行列

$n$次の中心化行列 $C_n$ は次の式で定義される。 $$\begin{eqnarray} C_n &=& E_n - \frac{1}{n}1_n \\ E_n &=& (n\textrm{次の単位行列})\\ 1_n &=& (\textrm{全成分が1の行列}) \end{eqnarray}$$ $C_n$ は1次従属となるため逆行列が存在しない。 $$\begin{eqnarray}C_n &=& \left(\begin{matrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0& 1 & \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots &1\end{matrix}\right) - \frac{1}{n}\left( \begin{matrix}1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \end{matrix} \right) \\ & = & \frac{1}{n} \left(\begin{matrix} n - 1 & -1 & \cdots & -1 \\ -1 & n - 1 & \cdots & -1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ -1 & -1 &\cdots & n -1 \end{matrix}\right)\end{eqnarray}$$ $C_n$ の全行ベクトルを足すと $0$ ベクトル となる。