凸関数 特殊な場合

* \(- \infty \leq a \lt b \leq \infty\) * \((a, b) = { x \in \mathbb{R}, a \lt x \lt b}\) * \(f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}\) ## Definition: C1級関数 \(f\) が C1級関数 \(\Leftrightarrow f\) が \((a, b)\) 上 微分可能で \(f': (a, b) \rightarrow \mathbb{R}\) が微分関数 ## Definition: 凸関数 C1級関数 \(f\): \((a, b) \Leftrightarrow \mathbb{R}\) が凸であるとは \(f': (a, b) \rightarrow \mathbb{R}\) が単調非減少 ### Example \( 1 \lt P \lt \infty \) \(f(x) = |x|^P \ (x \in \mathbb{R} )\) \[ f'(x) = \begin{cases} Px^{P-1} & = & P|x|^{P-1} & (x \gt 0)\\ -P (-x)^{P-1} & = & - P |x|^{P-1} & (x \lt 0) \end{cases} \] Then, \(f(x) = P \textrm{sgn}(x)|x|^{P-1} \). \(f\) は凸関数。 ## Remma \( -\infty \leq a \lt b \leq \infty \), \( f: (a,b) \rightarrow \mathbb{R} \) (\(C^1 級 凸関数\)) \( a \lt x_0 \lt b \) に対して \( f(x) \leq f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0) \) (\( x\in (a, b)\)) ### Proof define \(g(x) = f(x) - f(x_0) - f'(x_0) ( x - x_0) \) Then \(g'(x) = f'(x) - f'(x_0)\) 単調非減少, \(g(x_0) = 0\), \( g'(x_0) = 0\). \( x \gt x_0\) の時 \[ g(x) = \int_{x_0}^x g'(y) dy \geq 0 \] \( x \lt x_0\) の時 \[ g(x) = - \int_{x}^{x_0} g'(y) dy \geq 0 \] Therefore \(g(x) \geq 0\).