確率

Kolmogorov ## 確率とは何か ヨーロッパの文献を訳すときに「公算」という案もあった。 中国では「概率」という。 ### 確率の哲学 主観か客観か。 確率を客観的に定義するのは難しい。 von Muses (流体力学) が晩年、確率について述べた。 ドイツがリベリアの戦争に関わる確率は存在しない。 確率を問えるのは、繰り返し起こるものに対してのみである。 Keyens(数学者でのちに経済学者) 1回きりしかないことに対してしか確率が問えないとしたら、ほとんどのことに対して確率は意味をなさない。 ラプラス 叡智があり、宇宙の方程式があり、初期状態があり、それを解くことができるならば未来永劫全て予測できる。人間はそれをできないから、確率とは、その状況で人間の持つ不確からしさを記述するものである。 確率を整合的に定義する。 根元事象：それ以上分解できない事象 根元事象の集まりを集合 \(\Omega\) と書く(Kolmogorov がオメガを使い始めた。) \( \Rightarrow \Omega \) は全ての事象。 ## 確率の定義 1. \( \Omega \) を決める。 Ωは有限集合とする。 事象とは・・・ \(\Omega\) の部分集合 事象の集合を\(\mathscr{F}\) と書く。 \( \mathscr{F} = \mathscr{P}(\Omega)\) 確率 \(p: \mathscr{F} \rightarrow [0 , 1] \) (mapping) 1. \(p(\varnothing) \rightarrow 0,\ p(\Omega) \rightarrow 1 \) 2. \(A, B \in \mathscr{F} \land A \cap B= \varnothing \Rightarrow p(A \cup B) = p(A) + p(B) \) \(\Omega\) に対して、これを満たす写像を確率という。 \(( \Omega , \mathscr{F}, p )\) を確率空間という。 コルモゴロフ > 主観だろうが客観だろうがどちらでもよい、1、2を満たす写像があり、確率空間が定義できればそれが確率となる。 ### Definition 確率変数 確率変数 \(X\) とは 写像 \(X : \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) である。 ___ \(p\) 確率, \(A \in \mathscr{F}, A \subset \Omega \) \[A = \bigcup _{\omega \in A} \left\{ \omega \right\} \] \[p(A) = \sum _{\omega \in A} \left\{ \omega \right\} \] ___ ### notation \[p_\omega = p(\left\{\omega\right\}) \] ___ \[\forall \omega \in \Omega,\ p(\left\{\omega\right\}) \geq 0 \] \[ 1 = P( \Omega ) = \sum _{\omega \in \Omega} p(\left\{\omega\right\}) \] ___ ### Definition \[ E[X] = \sum_{\omega \in \Omega} p(\left\{ \omega \right\}) X(\omega) \] ___ ### notation \(A \in F\) \[ E[X, A] = \sum_{\omega \in A} p(\left\{ \omega \right\}) X(\omega) \] ___ \(\exists c \in \mathbb{R}, \forall \omega \in \Omega, X(\omega) = c \) のとき、 \(X\) を単に \(c\) と書く。 ___ ### Definition Random variable \(X, Y\) について \(a, b \in \mathbb{R} \) を用いた式 \(aX + bY \) を次のように定める。 \[(aX+bY)(\omega) = aX(\omega) + bY(\omega)\]